Непрерывность СИЗОПа

Если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, а $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ непрерывны на $[a, b]$, то $$F(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y) dy$$ непрерывен на $[a, b]$.

Докажем, что функция $$\Phi(x, p, q) = \int_{p}^{q} f(x, y) dy$$ непрерывна на $[a, b] \times [c, d] \times [c, d]$. $f(x, y)$ непрерывна на компактном $D$, значит она ограничена и равномерно непрерывна: $\exists{M}\mathpunct{:}~~ |f(x, y)| \leq M,~~ \forall{(x, y) \in D}$ и $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta_1 > 0}\mathpunct{:}~~ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |f(x + \Delta x, y) - f(x, y)| < \dfrac{\varepsilon}{3(d - c)}$. Выберем $\delta = \min\{\delta_1, \dfrac{\varepsilon}{3M}\}$. Тогда для всех $|\Delta x| < \delta, |\Delta p| < \delta, |\Delta q| < \delta$: $$ \begin{aligned} & |\Phi(x + \Delta x, p + \Delta p, q + \Delta q) - \Phi(x, p, q)| = \\ & = \left| \int_{p+\Delta p}^{q+\Delta q} f(x+\Delta x, y) dy - \int_{p}^{q} f(x, y) dy \right| \leq \\ & \leq \left| \int_{p}^{q} f(x+\Delta x, y) dy - \int_{p}^{q} f(x, y) dy \right| + \left| \int_{p+\Delta p}^{p} f(x+\Delta x, y) dy \right| + \left| \int_{q}^{q+\Delta q} f(x+\Delta x, y) dy \right| \leq \\ & \leq \int_{p}^{q} \dfrac{\varepsilon}{3(d - c)} dy + M|\Delta p| + M|\Delta q| < \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{aligned} $$ Функция $\Phi(x, p, q) = \int_{p}^{q} f(x, y) dy$ непрерывна на $[a, b] \times [c, d] \times [c, d]$. Так как функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ непрерывны на $[a, b]$, то $\exists{[c, d]}\mathpunct{:}~~ c \leq \varphi(x) \leq \psi(x) \leq d$. Доопределим $f(x, y) = \begin{cases} \varphi(x), & c \leq y < \varphi(x) \\ f(x, y), & (x, y) \in D \\ \psi(x), & \psi(x) < y \leq d \end{cases}$ Продолженная таким образом функция непрерывна на $[a, b] \times [c, d]$, значит $\Phi(x, p, q)$ непрерывна на $[a, b] \times [c, d] \times [c, d]$. По теореме о непрерывности сложной функции $F(x) = \Phi(x, \varphi(x), \psi(x))$ непрерывна на $[a, b]$. $\square$